I denne artikkelen innfører vi sannsynlighet fra enkle intuisjoner. Først må vi se litt på hva sannsylighet er, hvilke egenskaper det burde ha, og det filosofiske bakteppet.
Sannsynlighet er noe alle har et personlig forhold til. Om det er yatzy på hytta i barndommen eller risiko knyttet til invisteringer, veddemål og så videre. Dette viser seg når man spør den gjengse kvinne i gaten: “Hva er sannsynlighet for at et terningkast er seks?”. Svaret er som kjent \(1/6\). Men hvorfor det? Dette er det første vi skal komme frem til.
Når vi nå skal finne på sannsynlighet og dets regler, må vi tenke over hvilke krav sannsynliget skal ha. Ett slik krav er at sannsyligheter må være positive. Hvorfor dette er et krav kan man diskutere, men helt intuitivt gir det ikke mening å si “Sannsynligheten for å vinne er -0.5”. I alle fall for meg skjønner jeg ikke hvordan dette kan tolkes. Altså er første krav til sannsynlighet at den må være positiv:
\[ p(X) \geq 0 \] Der \(X\) er en hvilken som helst hendelse. Et annet krav vi setter er at sannsnyligheten til at noe som helst hender er 1. Her bruker vi ‘noe som helst’ for å beskrive alle mulige utfall til en hendelse. Med andre ord: noe må skje! Det betyr også at en sannsynlighet aldri kan overskride 1. Noe kan ikke være mer sannsynlig enn garantert.
Det siste krafet er at hvis to hendelser ikke kan inntreffe samtidig, de er disjunkte, så er sannsynligheten at én av de intreffer lik summen av de individuelle sannsynlighetene.
Kort oppsummert kan vi skrive følgende:
En sannsynliget \(P(X)\) må tilfredstille følgende krav:
\[ \begin{aligned} 0 \leq P(X) &\leq 1\\ P(\Omega) &= 1\\ P(X \cup Y) &= P(X) + P(Y), \quad X\cap Y = \emptyset \end{aligned} \] Hvor \(\Omega\) betyr alt som kan intreffe. \(\Omega\) kalles også for universet eller uftfallsrommet. Med denne definisjonen av sannsynlighet kan vi nå undersøke et tærningkast. (Se mer på wikipedia)
Når vi ser på et tærningkast kan en rekke ting skje. Tærningen kan lande på en av sinde seks sider, tærningen kan på mirakuløst vis balansere på en side eller et hjørne. Tærningen kan knuse og dermed ikke “lande” på noen som helst side. Tærningen kan også lande på flere side på en gang hvis vi strekker definisjonen “å lande” langt nok. Alle disse mulighetene tilsier at vi kanskje ikke burde gjøre nettopp dette - strekke definisjoner hit eller dit. Derfor må det første vi gjør i vår undersøkelse være å definere utfallsrommet \(\Omega\). I dette eksempelet er vi bare intresert i tærningen om den lanner på en, og kun én, av sine seks sider. Utfallsrommet bilr dermed:
\[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \] Merk notasjonen \(\{ \dots\}\). Dette betyr at utfallsrommet er et sett av mulige utfall og ikke tallene en til seks. Derfor kunne vi like godt definert \(\Omega\) slik: $= {, , , , , } $. Denne notasjonen er identisk, dog noe kronglete. Derfor foretrekker vi den kortfattede første.
Nå som utfallsrommet er definert kan vi gå videre. Dessverre er ikke dette tilstrekkelig for å vise at \(P(X = 1) = 1/6\). Altså at sannsynligheten for å kaste en ener er en sjettedel. For å konkludere det må vi komme med en siste antagelse, nemlig at det er like sannsynlig å lande på alle sider. Dette er i varierende grad opplagt for alle som har kastet tærninger. For eksempel i Yatzy er en sekser bare bedre enn en enere fordi seks er et høyere tall, og ikke fordi seks er mindre sannsynlig. på en annen side, det er heller ikke umulig at en tærning ikke er fullstendig rettferdig, og kanskje lander på én side bittelitt oftere. Vi unngår alle disse problemene elegant ved å anta at de ikke gjelder. Tærningen vår blir sånn sett ikke en ekte tærning, men en idé om en perfekt tærning, - på samme vis en sirkel tegnet med en passer ikke er en faktisk sirkel, bare en tilnærming. Tilbake til tærningen vet vi at alle sider er like sannsynlige, og fra kravet om at sannsynligheten må summére til én, kan vi sette opp følgende uttrykk:
\[ \begin{aligned} P(\Omega) &= P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)\\ & = P(X = 1) + P(X = 1) + P(X = 1) + P(X = 1) + P(X = 1) + P(X = 1)\\ &= 6\cdot P(X = 1) \end{aligned} \] Siden \(P(\Omega) = 1\) forenkles uttrykket til: \[ 1 = 6\cdot P(X = 1) \rightarrow P(X = 1) = 1/6 \]
og vi er dermed i mål og har vist hvorfor sannsynligheten for å kaste en ener er en sjettedel. På grunn av antagelsen om at alle sider er like sannsynlige, har vi samtidig vist det for alle andre sider.