I denne artikkelen skal jeg gjennomgå og bevise en rekke derivasjonsregler. Først tar jeg meg for meg de generelle derivasjonreglene, etterfulgt av et utvalg spesielle derivasjonsregler. Bevisene hviler tungt på grenseverdier, som ikke er merkelig siden definisjonen av den deriverte er en grenseverdi.Denne definisjonen repeterer ejg først:
\[\begin{align} \frac{\text{d}f}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{align}\]
Vi kaller også gjerne den deriverte for \(f'(x)\), lest “f-derivert av x” eller “f-prim”. Denne notasjonen er enklere og brukes gjerne der den er entydig. Dessverre er ikke det alltid tilfelle. Ett slikt eksempel skal vi møte på senere. Merk at den deriverte kun er definert der grenseverdien finnes. For eksempel har \[ f(x) = \frac{1}{x} \]
ingen derivert i \(x=0\).
De generelle derivasjonsreglene kjennetegnes at de antar ingenting om funksjonenen annet enn at de er deriverbare. Derfor gjelder de generelt. Du har sikkert allerede brukt flere av de uten å innse at de er regler. Alle de følgende reglene omhandler én eller to generelle funksjoner, og derfor er det hensiktsmessig å definere de. Vi ser altså på funksjonene \(f(x)\) og \(g(x)\). Begge de to har deriverte definert som følgende:
\[\begin{align} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ g'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \end{align}\]
Hittil har vi bare sett på formaliteter, men nå kommer den første reglen:
Hvis vi skal derivere summen av to funksjoner, kan vi derivere komponentene hver for seg:
\[ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \]
Bevis: \[\begin{align} (f(x) + g(x))'&= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) - f(x) - g(x)}{\Delta x}\\ & = \lim_{\Delta x\to 0}\left( \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\\ & = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ &= f'(x) + g'(x) \end{align}\]
Linje 2 til 3 kommer av at siden både \(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\) og \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\) sine grenseverdier finnes, fordi vi antok det, kan vi distribuere \(\lim\) operatoren over de og ta grenseverdiene hver for seg.
Hvis en funksjon er produktet av to andre funksjoner, kan den derivers slik:
\[ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \] Altså summen av de to mulige måtene å derivere den éne faktoren og holde den andre faktoren lik.
Bevis: \[\begin{align} (f(x)g(x))'&= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) g(x + \Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) g(x + \Delta x) - f(x) g(x) + f(x + \Delta x)g(x) - f(x + \Delta x)g(x)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) \left(g(x + \Delta x) -g(x) \right) + g(x)\left(f(x + \Delta x) -f(x) \right)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \left( \frac{f(x + \Delta x) \left(g(x + \Delta x) -g(x) \right)}{\Delta x} + \frac{ g(x)\left(f(x + \Delta x) -f(x) \right)}{\Delta x}\right)\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) \left(g(x + \Delta x) -g(x) \right)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0} \frac{ g(x)\left(f(x + \Delta x) -f(x) \right)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} f(x + \Delta x)\frac{ g(x + \Delta x) -g(x) }{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0} g(x) \frac{ f(x + \Delta x) -f(x) }{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} f(x + \Delta x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ g(x + \Delta x) -g(x) }{\Delta x} + \lim_{\Delta x\to 0} g(x) \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ f(x + \Delta x) -f(x)}{\Delta x}\\ \end{align}\]
Vi har nå fire forskjellige grenseverdier:
\[ \begin{align} \lim_{\Delta x\to 0} f(x + \Delta x) &,\quad \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ g(x + \Delta x) -g(x) }{\Delta x}\\ \lim_{\Delta x\to 0} g(x) &,\quad\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ f(x + \Delta x) -f(x) }{\Delta x} \end{align} \]
Vi ser at de to i venstre kolonne bare blir \(f(x)\) og \(g(x)\), og at venstre kolonne er definisjonen av den deriverte for \(f(x)\) og \(g(x)\). Dermed ender vi opp med det ønskede resultatet:
\[ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]
Denne veggen av utregninger er mindre skremmende enn den kan først virke. Idéen er ganske enkel: På første linje bruker vi definisjonen av den deriverte, deretter legger vi til og trekker fra \(f(x + \Delta x)g(x)\). Dette er et lite knep som muligjør de etterfølgende forenklingene. Etter linje to er resten bare en øvelse i å omrokkere algebraiske uttrykk til vi ender opp med den ønskede formuleringen. Den formuleringen er den siste linjen. Deretter tar vi grenseverdiene og ender opp med den generelle produktregelen.
Kjerneregelen er kanskje den mest beryktede derivasjonsregelen. Grunnen til dette tror jeg er at vi må se på en funksjon som en variabel. Det er ikke noe matematisk problematisk med dette, men det er fremmed første gang man møter det. Kjerneregelen brukes når vi deriverer en funksjon av en annen funksjon. Vi kan skrive dette på flere måter. Den mest direkte er å skrve det slik:
\[ f(g(x)) \] Men man kan også dele opp uttrykket i to: \[ f(u), \quad u = g(x) \]
Her ser vi at vi ikke trenger å se på det som en funksjon av en funksjon, men heller en funksjon av en annen variabel \(u\), hvor \(u\) er en funksjon av \(x\). Fordi vi nå har to forskjellige variabler, må vi bruke den mer omstendige formuleringen av den deriverte. Kjerneregelen sier da: \[ \frac{\text{d}f(g(x))}{\text{d}x} = \frac{\text{d}f(u)}{\text{d}x} = \frac{\text{d}f(u)}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}g(x)}{\text{d}x} \] Altså kan vi derivere den ytre funksjonen \(f\) som om den ikke var en sammensatt funksjon, og deretter gange med den deriverte av kjernen \(g'\).
Bevis:
\[\begin{align} \frac{\text{d}f(u)}{\text{d}x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x)+\Delta x) - f(g(x))}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x)+\Delta x) - f(g(x))}{\Delta x}\cdot \frac{f(g(x)+\Delta x) - f(g(x))}{f(g(x)+\Delta x) - f(g(x))}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))}{g(x + \Delta x) - g(x)} \cdot \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \end{align}\]
Her ser vi en ny grenseverdi: Nemlig hva skjer med \(f(g(x+ \Delta x))\) når \(x\) går mot null? Her kan vi substituere \(g(x)\) med en \(u\).
Et knep vi skal bruke er en omdøping av uttrykket \(g(x + \Delta x) - g(x)\). Vi kan nemlig kalle denne differansen for \(\Delta u\). Formelt blir det følgende: \[ \Delta u = g(x + \Delta x) - g(x) \] Et veldig viktig poeng er at når \(\Delta x\) går mot null, går også \(\Delta u\) mot null. Dette må være tilfelle fordi vi antar at \(g\) kan deriveres. Da må grenseverdie under finnes: \[ g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \] og siden nevneren går mot null, må telleren også gå mot null. Om det ikke er tilfelle er ikke grenseverdien definert.
Derfor kan vi dele opp grenseverdiene og substituere \(g(x)\) med \(u\) i den første.
\[\begin{align} \frac{\text{d}f(u)}{\text{d}x}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))}{g(x + \Delta x) - g(x)} \cdot\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ &= \frac{\text{d}f(u)}{\text{d}u} \cdot \frac{\text{d}g(x)}{\text{d}x} \end{align}\]
Som er akkurat det vi leter etter.
Inversregelen er ikke en regel som undervises i norsk Skole. Den er heller ikke særlig interesant, men å bruke denne gjør kvotientregelen, som er den siste generelle regelen vi skal se på, veldig enkel å bevise. Inversregelen sier følgende:
\[ \left(\frac{1}{f} \right)' = -\frac{f'}{f^2} \] For å bevise denne må vi først bevise en spesiell derivasjonsregel, nemlig:
\[ \left(\frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2} \] Dette er fort gjort ved hjelp av definisjonen:
\[\begin{align} \left(\frac{1}{x} \right)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{x - x -\Delta x}{x^2 + x\Delta x}}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-\Delta x}{x^2 + x\Delta x}}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} -\frac{1}{x^2 + x\Delta x}\\ &= -\frac{1}{x^2} \end{align}\]
Nå som dette er bevist, kan vi enkelt bevise inversproblemet ved hjelp av kjerneregelen:
\[\begin{align} \left(\frac{1}{g(x)} \right)' &= f(g(x))', \quad f(u) = \frac{1}{u}\\ &= f'(u)\cdot g'(x)\\ &= -\frac{1}{u^2} g'(x)\\ &= -\frac{g(x)}{g'(x)^2} \end{align}\]
Her så vi på \(\frac{1}{g(x)}\) som en sammensatt funksjon. Dermed kunne vi bruke den deriverte til \(\frac{1}{x}\), som vi fant over, som den ytre funksjonen.
Kvotientregelen trenger man rett som det er da det er ganske vanlig med funksjoner som er brøker. Kort og greit sier den følgende:
\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \] Med alt forarbeidet over kan vi enkelt bevise dette:
\[\begin{align} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right)'\\ &= f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)' + f'(x)\frac{1}{g(x)}\\ &= -\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} +f'(x)\frac{g(x)}{g(x)^2}\\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \end{align}\]
Her brulte vi først produktregelen og som splittet funksjoen i to deler, én der vi deriverer \(f\) og én der vi deriverer \(\frac{1}{g(x)}\). Sistnevnte har vi allerede funnet, og vi putter inn løsningen. Deretter finner vi fellesnevner og er i mål.
De spesielle derivasjosnreglene omhandler spesifikke funksjoner. Vi har allerede sett én av dem, nemlig at \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -frac{1}{x^2}\). Det finnes utallige slike regler, men vi skal bare ta for oss noen av de viktigste. Veldig mange problemer kan uttrykkes med kun et lite kneppe funksjoer, samt de generelle reglene vi lærte over.
Polynomer er funksjoer på formen \(x^n\) der \(n\) er et heltall tall eller en sum av disse potensene. Vi ser at en funksjon er av n-te grad hvis den er et polynom der \(n\) er den høyeste potensen av alle. Disse funksjoene kan deriveres lett med potensregelen som sier følgende:
\[ (x^n)' = nx^{n-1} \] Altså er den deriverte til en n-tegradspolynom en ny polynom av én mindre grad. Jeg har allerede bevist dette for andregradspolynomer i min introduksjon til kalkulus. For å gjøre dette generelt må vi ta en liten titt på potenser:
Kvadratsetningen er velkjent og sier følgende: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Det finnes en tilsvarende kubikksetning:
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] Og en tilsvarende ’kvartett’setning:
\[ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 3ab^3 + b^4 \] Og så videre (alle disse kan i teorien enkelt vises, men det er en plundrete jobb). Et obersvant øye har kanskje merket noen mønster. Først ser vi at den har en slags symmetri i at hva som er \(a\) og hva som er \(b\) er likegyldig. Vi ser at mens potensene til \(a\) synker med én hvert ledd mot høyre, så stiger potensene til \(b\) tilsvarende én. Et noe vanskligere mønster å skimte er at konstanene følger Pascals trekant (hvorfor dette er tilfelle krever forklaring utover denne artikkelen). Vi ignorerer disse konstanene, og dermed kan vi skrive generelt at:
\[ (a+ b)^n = a^n + na^{n-1}b + k_1a^{n-2}b^2 + ... + k_1a^2b^{n-2} + nab^{n-1} +b^n \]
Prikkene i midten betyr bare at det er en rekke ledd imellom som vi ikke bryr oss om. I denne formuleringen ser vi at vi kan faktorisere ut \(b^2\) fra alle ledd som kommer etter \(na^{n-1}b\). Da får vi følgende uttrykk:
\[ (a+ b)^n = a^n + na^{n-1}b + b^2\cdot\Sigma \]
hvor \(\Sigma\) bare er den samlede resten av summen. Dette er noe vi rett og slett ikke bryr oss noe om. Hvorfor dette er tilfelle kommer vi til nå da vi endelig skal bevise potensregelen. Vi begynner med å bruke definisjonen:
\[\begin{align} f(x) &= x^n\\ f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^n nx^{n-1}\Delta x + (\Delta x)^2\Sigma - x^n}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{nx^{n-1}\Delta x + (\Delta x)^2\Sigma}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \to 0} nx^{n-1} + \Delta x\Sigma\\ &= nx^{n-1} \\ \end{align}\]
Denne utrgeningen forutsetter at \(n\) er heltall. Dette er fordi vi ganger ut og faktoriserer potensen \((a+b)^n\), som ikke er mulig hvis \(n\) er en brøk eller et irrasjenlt tall. Likevel gjelder potensregelen generelt, foruten \(n=0\). Altså hvis \(n\) er et hvilket som helst reelt tall utenom 0, kan man bruke den regelen. Å bevise dette for rasjonelle tall er noe vanskeligere, og å bevise det for reelle tall krever en ny vinkling på derivasjon som vi ikke skal ta for oss her.
Eksponentielle funksjoner er funksjoner der en konstant opphøyes i \(x\). For eksempel er \(f(x) = 2^x\) en eksponentiell funksjon. Denne funksjoen dobles hver gang \(x\) øker med én: \(f(x+1) = 2^{x+1} = 2\cdot 2^x = 2f(x)\). Slike funksjoner er veldig interessante i en rekke sitasjoner. Generelt er eksponentielle funksjoner på formen:
\[ f(x) = a^x, \quad a\in\mathbb{R} \] Vi skal nå se på hvordan disse deriveres, og hvorfor dette er nøkkelen til interessen.
Vi bruker definisjonen av den deriverte og setter opp følgende uttrykk:
\[\begin{align} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{\Delta x}a^x - a^x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0} a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ \end{align}\]
Merk hvorfor vi kan trekke \(a^x\) ut av grenseverdien. Dette er fordi grensevrdien omhandler \(\Delta x\) og ikke \(x\). Derfor kan vi trekke \(a^x\) ut og sitte igjen med et produkt av to faktorer hvor den første ikke er avhengig av \(\Delta x\), og den andre ikke er avhengig av \(x\). Det betyr at den deriverte til eksponentielle funksjoner er proporsjonal med den oprinnelige funksjonen. Konstanten er gitt av grenseverdien
\[ \lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} = \lim_{t\to 0} \frac{a^{t}-1}{t} \] Som faktisk er det samme som \(\ln a\), altså den naturlige logaritmen / logaritmen med grunntall \(e\). Denne påstanden skal nå bevises, men først må vi se litt på hva tallet \(e\) er.
\(e\) er vanligvis definert som grenseverdien til følgende uttrykk:
\[ e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Dette konvergerer til omtrent \(2.71828\dots\). Videre kan vi se at \[\begin{align} e^x &= \lim_{n\to\infty}\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^x\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{nx}\\ &=\lim_{k\to\infty}\left(1 + \frac{x}{k}\right)^{k},\quad k = nx\\ \end{align}\]
Altså kan vi sette \(x\) over \(n\) inni parentesen. Denne definisjonen er videre ekvivalent med følgende:
\[ e = \lim_{t \to 0}\left(1 + t\right)^{1/t} \]
Som vi heller bruker i denne sammenhengen. Den naturlige logaritmen til et tall \(a\) er definert som hvilket tall \(e\) må opphøyes for å bli \(a\). Med andre ord er det løsningen av likningen \(e^x = a\). Formelt har vi:
\[ \ln a = x \leftrightarrow e^x = a \] Om vi erstatter \(e\) med definisjoen vår vi følgende uttrykk:
\[\begin{align} \ln a = x \leftrightarrow \lim_{t \to 0}\left(1 + t\right)^{x/t} &= a\\ \lim_{t \to 0}\left(1 + xt\right) &= \lim_{t \to 0} a^t\\ x &= \lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} \end{align}\]
Dette er akkurat det samme uttrykket som konstanten vi fant ovenfor, noe som betyr at hvis \(a=e\), så er \(\lim_{t \to 0} \frac{a^t - 1}{t} = 1\) fordi \(\ln e = 1\) per definisjon (\(e\) må opphøyes i én for å få \(e\)). Alt i alt gir dette de spesielle derivasjonsreglene:
\[\begin{align} (e^x)' &= e^x\\ (a^x)' &= a^x \ln a \end{align}\]
mer kommer